过剩数

在数论中，若一个正整数除了本身外之所有正因数之和比此数自身大，则称此数为过剩数。（又称作丰数或盈数）。

例如12除了本身外之所有正因数有 1,2,3,4,6，而 ${ {{ {{ {{ {1}+{2} }}+{3} }}+{4} }}+{6} } = 16$ ， $16>12$ ，所以12可称为过剩数。

更为严格地说，过剩数是指使得函数 σ(n) > 2n的正整数，其中指的是因数和函数，即n的所有正因数（包括n）之和。σ(n) − 2n称作n的盈度。

用上例12的正因数有 1,2,3,4,6,12，而 ${ {{ {{ {{ {{ {1}+{2} }}+{3} }}+{4} }}+{6} }}+{12} } = 28$ ， $28>12\times 2$ ，所以12可称为过剩数。

最小的一些过剩数是： 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, … A005101

以上列出的过剩数都是偶数。最小的奇过剩数是945。1998年Marc Deléglise 证明了过剩数在自然数中的自然密度介于0.2474 与0.2480之间。

奇过剩数和偶过剩数都有无穷多个，因为每个完全数和过剩数的倍数（不包括它们自身）都是过剩数。甚至，每个大于20161的数都可以写成两个过剩数之和。许多过剩数一部分真因数的和等于过剩数自身，这样的过剩数也是半完全数，一个不是半完美数的过剩数叫做奇异数；盈度为1的过剩数叫做准完全数。

与过剩数相关的概念是完全数（σ(n) = 2n）和亏数（σ(n) < 2n）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica （公元前100年）。

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