方根

在數學中，若一個數 $b$ 為數 $a$ 的 $n$ 次方根，則 $b^n=a$ 。當提及實數 $a$ 的 $n$ 次方根的時候，假定想要的是這個數的主 $n$ 次方根，那麼它就可以用根號（ $\sqrt{\color{white} x}$ ）表示成 $\sqrt[n]{a}$ 。例如：1024的主10次方根為2，就可以記作 $\sqrt[10]{1024}=2$ 。當 $n=2$ 時，則 $n$ 可以省略。定義實數 $a$ 的主 $n$ 次方根為 $a$ 的 $n$ 次方根，且具有與 $a$ 相同的正負號的唯一實數 $b$ 。如果 $n$ 是偶數，那麼負數將沒有主 $n$ 次方根。習慣上，將2次方根叫做平方根，將3次方根叫做立方根。

符號史

最早的根號「√」源於字母「r」的變形（出自拉丁語latus的首字母，表示「邊長」），沒有線括號（即被開方數上的橫線），後來數學家笛卡爾給其加上線括號，但與前面的方根符號是分開的，因此在複雜的式子顯得很亂。直至18世紀中葉，數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（當根指數為2時，省略不寫。）。從而，形成了我們現在所熟悉的開方運算符號 $\sqrt{\color{white} x}$ 。

由於在電腦中的輸入問題，我們有時還可以使用sqrt(a,b)來表示a的b次方根。

基本運算

帶有根號的運算由如下公式給出:

{\displaystyle \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0 }

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

{\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = a^{\frac{m}{n}}, }

這裏的a和b是正數。

對於所有的非零複數 $a$ ，有n個不同的複數 $b$ 使得 $b^n=a$ ，所以符號 $\sqrt[n]{a}$ 不能無歧義的使用（通常這樣寫是取 $n$ 個值當中主幅角最小的）。n次單位根是特別重要的。

當一個數從根號形式被變換到冪形式，冪的規則仍適用（即使對分數冪），也就是

a^m a^n = a^{m+n}

\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}

\left(a^m\right)^n = a^{mn}

例如:

\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{5}} = a^{\frac{5}{3} + \frac{4}{5}} = a^{\frac{37}{15}}

若要做加法或減法，應當注意下列概念是重要的。

\sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{aaaaa} = \sqrt[3]{a^3a^2} = a\sqrt[3]{a^2}

若已可以簡化根式表達式，則加法和減法簡單的是群的「同類項」問題。

例如

\sqrt[3]{a^5}+\sqrt[3]{a^8}

=\sqrt[3]{a^3a^2}+\sqrt[3]{a^6 a^2}

=a\sqrt[3]{a^2}+a^2\sqrt[3]{a^2}

=({a+a^2})\sqrt[3]{a^2}

不盡根數

經常簡單的留着數的n次方根不解（就是留着根號）。這些未解的表達式叫做「不盡根數」（surd），它們可以接着被處理為更簡單的形式或被安排相互除。

如下恆等式是操縱不盡根數的基本技術:

$\sqrt{a^2 b} = a \sqrt{b}$

$\sqrt[n]{a^m b} = a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{b}$

$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$

無窮級數

方根可以表示為無窮級數:

{\displaystyle \begin{align} &(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!t^n}x^n\\ &(|x|<1) \end{align}}

找到所有的方根

任何數的所有的根，實數或複數的，可以通過簡單的演算法找到。這個數應當首先被寫為如下形式 $ae^{i\varphi}$ (參見歐拉公式)。接着所有的n次方根給出為:

e^{(\frac{\varphi+2k\pi}{n})i} \times \sqrt[n]{a}

對於 $k=0,1,2,\ldots,n-1$ ，這裏的 $\sqrt[n]{a}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

正實數

所有 $x^n=a$ 或 $a$ 的 $n$ 次方根，這裏的 $a$ 是正實數，的複數解由如下簡單等式給出:

e^{2\pi i \frac{k}{n}} \times \sqrt[n]{a}

對於 $k=0,1,2,\ldots,n-1$ ，這裏的 $\sqrt[n]{a}$ 表示 $a$ 的主 $n$ 次方根。

解多項式

曾經猜想多項式的所有根可以用根號和基本運算來表達；但是阿貝爾-魯菲尼定理斷言了這不是普遍為真的。例如，方程

\ x^5=x+1

的解不能用根號表達。

要解任何n次方程，參見根發現演算法。

演算法

對於正數 $A$ ，可以通過以下演算法求得 $\sqrt[n]{A}$ 的值：

猜一個 $\sqrt[n]{A}$ 的近似值，將其作為初始值 $x_0$
設 $x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]$ 。記誤差為 $\Delta x_k = \frac{1}{n} \left[{\frac{A}{x_k^{n-1}}} - x_k\right]$ ，即 $x_{k+1} = x_{k} + \Delta x_k$ 。
重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即： $| \Delta x_k | < \epsilon$ 。