提示 :此條目的主題不是
楊冪 。
此條目的主題是代數概念。關於幾何定理,請見「
圓冪定理 」。
冪運算 (英語:Exponentiation ),又稱指數運算 ,是數學 運算 ,表達式 為
b
n
{\displaystyle b^n}
,讀作「
b
{\displaystyle b}
的
n
{\displaystyle n}
次方」或「
b
{\displaystyle b}
的
n
{\displaystyle n}
次冪」。其中,
b
{\displaystyle b}
稱為底數 ,而
n
{\displaystyle n}
稱為指數 ,通常指數寫成上標 ,放在底數的右邊 。當不能用上標時,例如在程式語言 或電子郵件 中,
b
n
{\displaystyle b^n}
通常寫成b^n 或b**n ;也可視為超運算 ,記為b[3]n ;亦可以用高德納箭號表示法 ,寫成b↑n 。
若n 為正整數 ,可以把
b
n
{\displaystyle b^n}
看作乘方的結果,等同於
b
{\displaystyle b}
自乘
n
{\displaystyle n}
次。
b
n
=
b
×
⋯
×
b
⏟
n
{\displaystyle b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n}
當指數為1時,通常不寫出來,因為運算出的值和底數的數值 一樣;指數為2時,可以讀作「
b
{\displaystyle b}
的平方 」;指數為 3 時,可以讀作「
b
{\displaystyle b}
的立方 」。
起始值1(乘法的單位元素 )乘上底數(
b
{\displaystyle b}
)自乘指數(
n
{\displaystyle n}
)這麼多次。這樣定義 了後,很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況:除 0 外所有數的零次方都是 1 ;指數是負數時就等於重複除以 底數(或底數的倒數 自乘指數這麼多次),即:
b
0
=
1
{\displaystyle b^{0} = 1 \qquad }
b
−
n
=
1
b
×
⋯
×
b
⏟
n
=
1
b
n
=
(
1
b
)
n
(
b
≠
0
)
{\displaystyle b^{-n} = {1 \over \underbrace{b\times\cdots\times b}_n} = \frac{1}{b^n} = \left(\frac{1}{b}\right)^{n} \qquad (b \ne 0)}
。
以分數 為指數的冪定義為
b
m
n
=
b
m
n
{\displaystyle b^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{b^{m}}}
,即
b
{\displaystyle b}
的
m
{\displaystyle m}
次方再開
n
{\displaystyle n}
次方根
0的0次方 目前沒有數學家 給予正式的定義。在部分數學領域 中,如組合數學 ,常用的慣例是定義為 1 ,也有人主張定義為 1 。
因為在十進制 ,十的次方 很易計算,只需在後面加零即可,所以科學記數法 藉此簡化 記錄 的數字;二的冪 在計算機科學 相當重要。
當n 是複數 及b 是正實數時,
b
n
=
exp
(
n
ln
(
b
)
)
{\displaystyle b^n = \exp(n \ln(b))}
exp是指數函數 而 ln是自然對數 。
運算法則
a
m
×
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^m \times a^n = a^{m + n} }
a
m
÷
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle a^m \div a^n = a^{m - n} }
a
n
b
n
=
(
a
b
)
n
{\displaystyle \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n}
其他等式
x
m
n
=
x
m
n
{\displaystyle x^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{x^m}}
x
−
m
=
1
x
m
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^{-m} = \frac{1}{x^m} \qquad (x \ne 0)}
x
0
=
1
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^0 = 1 \qquad (x \ne 0)}
x
1
=
x
{\displaystyle x^1 = x\,\!}
x
−
1
=
1
x
(
x
≠
0
)
{\displaystyle x^{-1} = \frac{1}{x} \qquad (x \ne 0)}
運算律
加法和乘法存在交換律 ,比如:
2
+
3
=
5
=
3
+
2
{\displaystyle 2+3=5=3+2}
,
2
×
3
=
6
=
3
×
2
{\displaystyle 2 \times 3 =6 =3 \times 2}
,但是冪的運算不存在交換律,
2
3
=
8
{\displaystyle 2^3 = 8 }
,但是
3
2
=
9
{\displaystyle 3^2 = 9 }
。
同樣,加法和乘法存在結合律 ,比如:
(
2
+
3
)
+
4
=
9
=
2
+
(
3
+
4
)
{\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)}
,
(
2
×
3
)
×
4
=
24
=
2
×
(
3
×
4
)
{\displaystyle (2 \times 3) \times 4=24=2 \times (3 \times 4)}
。不過,冪運算沒有結合律:
(
2
3
)
4
=
8
4
=
4096
{\displaystyle (2^3)^4 = 8^4 = 4096 }
,而
2
(
3
4
)
=
2
81
=
2
,
417
,
851
,
639
,
229
,
258
,
349
,
412
,
352
{\displaystyle 2^{(3^4)} = 2^{81} = 2,417,851,639,229,258,349,412,352 }
,所以
(
2
3
)
4
≠
2
(
3
4
)
{\displaystyle (2^3)^4\neq 2^{(3^4)} }
。
但是冪運算仍然有其運算律,稱為指數律 :
a
m
×
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^m \times a^n = a^{m+n}}
a
m
÷
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle a^m \div a^n = a^{m-n}}
(
a
m
)
n
=
a
m
×
n
{\displaystyle (a^m)^n = a^{m \times n}}
a
m
n
=
a
m
÷
n
{\displaystyle \sqrt[n]{a^m} = a^{m \div n}}
a
n
×
b
n
=
(
a
×
b
)
n
{\displaystyle a^n \times b^n = (a \times b)^n}
a
n
÷
b
n
=
(
a
÷
b
)
n
{\displaystyle a^n \div b^n = (a \div b)^n}
整數指數冪
整數指數冪的運算只需要初等代數 的知識。
正整數指數冪
表達式
a
2
=
a
⋅
a
{\displaystyle a^2 = a\cdot a}
被稱作
a
{\displaystyle a}
的平方 ,因為邊長為
a
{\displaystyle a}
的正方形面積是
a
2
{\displaystyle a^2}
。
表達式
a
3
=
a
⋅
a
⋅
a
{\displaystyle a^3 = a\cdot a\cdot a}
被稱作
a
{\displaystyle a}
的立方 ,因為邊長為
a
{\displaystyle a}
的正方體體積是
a
3
{\displaystyle a^3}
。
所以
3
2
{\displaystyle 3^2}
讀作「3的平方」,
2
3
{\displaystyle 2^3}
讀作「2的立方」。
指數表示的是底數反覆相乘多少次。比如
3
5
=
3
×
3
×
3
×
3
×
3
=
243
{\displaystyle 3^5 = 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = 243}
,指數是5,底數是3,表示3反覆相乘5次。
或者,整數指數冪可以遞歸 地定義成:
a
n
=
{
1
(
n
=
0
)
a
⋅
a
n
−
1
(
n
>
0
)
(
1
a
)
−
n
(
n
<
0
)
{\displaystyle a^n=
\begin{cases}
1 & (n= 0) \\
a \cdot a^{n-1} & (n> 0) \\
\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} & (n< 0)
\end{cases}
}
指數是1或者0
注意
3
1
{\displaystyle 3^1}
表示僅僅1個3的乘積,就等於3。
注意
3
5
=
3
×
3
4
{\displaystyle 3^5 = 3\times 3^4}
,
3
4
=
3
×
3
3
{\displaystyle 3^4 = 3\times 3^3}
,
3
3
=
3
×
3
2
{\displaystyle 3^3 = 3\times 3^2}
,
3
2
=
3
×
3
1
{\displaystyle 3^2=3\times 3^1}
,
繼續,得到
3
1
=
3
×
3
0
=
3
{\displaystyle 3^1 = 3\times 3^0 = 3}
,所以
3
0
=
1
{\displaystyle 3^0 = 1}
另一個得到此結論的方法是:通過運算法則
x
n
x
m
=
x
n
−
m
{\displaystyle \frac{x^n}{x^m} = x^{n - m}}
當
m
=
n
{\displaystyle m=n}
時,
1
=
x
n
x
n
=
x
n
−
n
=
x
0
{\displaystyle 1 = \frac{x^n}{x^n} = x^{n - n} = x^0 }
零的零次方
0
0
{\displaystyle 0^0 }
0
0
{\displaystyle 0^0 }
其實還並未被數學家完整的定義,但部分看法是
0
0
=
1
{\displaystyle 0^0 = 1 }
,在程式語言中(python)
0
∗
∗
0
=
1
{\displaystyle 0**0 = 1 }
在這裏給出這一種極限的看法
lim
x
→
0
+
x
x
=
0
0
{\displaystyle \lim _{x \to 0^+} x ^ x= 0^0}
於是,可以求出 x 取值從 1 到 0.0000001 計算得到的值,如圖
負數指數
我們定義任何不為 0 的數 a 的 -1 次方等於它的倒數。
a
−
1
=
1
a
{\displaystyle a^{-1} = \frac{1}{a}}
對於非零
a
{\displaystyle a}
定義
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}}
,
而
a
=
0
{\displaystyle a=0}
時分母為 0 沒有意義。
證法一:
根據定義
a
m
⋅
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^m\cdot a^n = a^{m+n}}
,當
m
=
−
n
{\displaystyle m=-n}
時
a
−
n
a
n
=
a
−
n
+
n
=
a
0
=
1
,
{\displaystyle a^{-n} \, a^{n} = a^{-n\,+\,n} = a^0 = 1,}
得
a
−
n
a
n
=
1
{\displaystyle a^{-n} \, a^{n} = 1 }
, 所以
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}}
。
證法二:
通過運算法則
a
m
a
n
=
a
m
−
n
{\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}}
當
m
=
0
{\displaystyle m=0}
時,可得
a
−
n
=
a
0
−
n
=
a
0
a
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^{n}}}
負數指數
a
−
n
{\displaystyle a^{-n}}
還可以表示成1 連續除以
n
{\displaystyle n}
個
a
{\displaystyle a}
。比如:
3
−
4
=
1
3
3
3
3
=
1
81
=
1
3
4
{\displaystyle 3^{-4} = \frac{\frac{\frac{\frac{1}{3}}{3}}{3}}{3} = \frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}}}
.
特殊數的冪
10的冪
在十進制 的計數系統中,10的冪寫成1後面跟着很多個0。例如:
10
3
=
1000
,
10
−
3
=
0.001
{\displaystyle 10^3 = 1000,\ 10^{-3} = 0.001}
因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數字。如:299,792,458(真空中光速 ,單位是米每秒 ),可以寫成
2.99792458
×
10
8
{\displaystyle 2.99792458\times 10^8}
,近似值
2.998
×
10
8
{\displaystyle 2.998\times 10^8}
或
3
×
10
8
{\displaystyle 3\times 10^8}
.
國際單位制詞頭 也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數字,比如:詞頭「千」就是
10
3
{\displaystyle 10^3}
,詞頭「毫」就是
10
−
3
{\displaystyle 10^{-3}}
2的冪
1的冪
1的任何次冪都為1
0的冪
0的正數冪都等於0。
0的負數冪沒有定義。
任何非0之數的0次方都是1;而0的0次方 是懸而未決的,某些領域下常用的慣例是約定為1。[1] 但某些教科書表示0的0次方為無意義。[2] 也有人主張定義為1。
負1的冪
-1的奇數冪等於-1
-1的偶數冪等於1
指數非常大時的冪
一個大於1的數的冪趨於無窮大 ,一個小於-1的數的冪趨於負無窮大
當
a
>
1
{\displaystyle a > 1}
,
n
→
∞
{\displaystyle n \to \infty}
,
a
n
→
∞
{\displaystyle a^n \to \infty}
當
a
<
−
1
{\displaystyle a < -1}
,
n
→
∞
{\displaystyle n \to \infty}
,
a
n
→
−
∞
{\displaystyle a^n \to -\infty }
或
∞
{\displaystyle \infty}
, (視乎n 是奇數或偶數)
一個絕對值小於1的數的冪趨於0
當
|
a
|
<
1
{\displaystyle |a| < 1}
,
n
→
∞
{\displaystyle n \to \infty}
,
a
n
→
0
{\displaystyle a^n \to 0}
1的冪永遠都是1
當
a
=
1
{\displaystyle a = 1}
,
n
→
∞
{\displaystyle n \to \infty}
,
a
n
→
1
{\displaystyle a^n \to 1}
如果數a 趨於1而它的冪趨於無窮,那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是:
當
n
→
∞
,
(
1
+
1
n
)
n
→
e
{\displaystyle n \to \infty, \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e}
參見e的冪
其他指數的極限參見冪的極限
正實數的實數冪
一個正實數的實數 冪可以通過兩種方法實現。
有理數 冪可以通過N次方根 定義,任何非0實數次冪都可以這樣定義
自然對數 可以被用來通過指數函數定義實數冪
N次方根
從上到下:
x
1
8
,
x
1
4
,
x
1
2
,
x
1
,
x
2
,
x
4
,
x
8
{\displaystyle x^{\frac{1}{8}},\ x^{\frac{1}{4}},\ x^{\frac{1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}}
一個數
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根是
x
{\displaystyle x}
,
x
{\displaystyle x}
使
x
n
=
a
{\displaystyle x^n=a}
。
如果
a
{\displaystyle a}
是一個正實數,
n
{\displaystyle n}
是正整數,那麼方程
x
n
=
a
{\displaystyle x^n=a}
只有一個正實數根 。
這個根被稱為
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根,記作:
a
n
{\displaystyle \sqrt[n]{a}}
,其中
{\displaystyle \sqrt{\ }}
叫做根號。或者,
a
{\displaystyle a}
的
n
{\displaystyle n}
次方根也可以寫成
a
1
n
{\displaystyle a^{\frac{1}{n}}}
.
例如
4
1
2
=
2
,
8
1
3
=
2
{\displaystyle 4^{\frac{1}{2}} = 2,\ 8^{\frac{1}{3}} = 2}
當指數是
1
2
{\displaystyle \frac{1}{2}}
時根號上的2可以省略,如:
4
=
4
1
2
=
4
2
=
2
{\displaystyle \sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}= \sqrt[2]{4} = 2}
有理數冪
有理數指數冪定義為
a
m
n
=
(
a
m
)
1
n
=
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}
e的冪
這個重要的數學常數e ,有時叫做歐拉數 ,近似2.718,是自然對數 的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。
它是從以下極限定義的:
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle e =\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n }
指數函數 的定義是:
e
x
=
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
{\displaystyle e^x =\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{x}{n} \right)^n }
可以很簡單地證明e 的正整數k 次方
e
k
{\displaystyle e^k}
是:
e
k
=
[
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
]
k
{\displaystyle e^k = \left[\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right]^k }
=
lim
n
→
∞
[
(
1
+
1
n
)
n
]
k
{\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{n} \right) ^n\right]^k }
=
lim
n
→
∞
(
1
+
k
n
⋅
k
)
n
⋅
k
{\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} }
=
lim
n
⋅
k
→
∞
(
1
+
k
n
⋅
k
)
n
⋅
k
{\displaystyle = \lim_{n \cdot k \to \infty} \left(1+\frac k {n\cdot k} \right)^{n \cdot k} }
=
lim
m
→
∞
(
1
+
k
m
)
m
{\displaystyle = \lim_{m \to \infty} \left(1+\frac k m \right)^m }
實數指數冪
y = bx 對各種底數b的圖像,分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。
因為所有實數 可以近似地表示為有理數,任意實數指數x 可以定義成[3] :
b
x
=
lim
r
→
x
b
r
,
{\displaystyle b^x = \lim_{r \to x} b^r,}
例如:
x
≈
1.732
{\displaystyle x \approx 1.732 }
於是
5
x
≈
5
1.732
=
5
433
250
=
5
433
250
≈
16.241
{\displaystyle 5^x \approx 5^{1.732} =5^{\frac{433}{250}}=\sqrt[250]{5^{433}} \approx 16.241}
實數指數冪通常使用對數來定義,而不是近似有理數。
自然對數
ln
x
{\displaystyle \ln{x} }
是指數函數
e
x
{\displaystyle e^x}
的反函數 。
它的定義是:對於任意
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,滿足
b
=
e
ln
b
{\displaystyle b = e^{\ln b}}
根據對數和指數運算的規則:
b
x
=
(
e
ln
b
)
x
=
e
x
⋅
ln
b
{\displaystyle b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}}
這就是實數指數冪的定義:
b
x
=
e
x
⋅
ln
b
{\displaystyle b^x = e^{x\cdot\ln b}\,}
實數指數冪
b
x
{\displaystyle b^x}
的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數,這種定義更加常用。
負實數的實數冪
如果
a
{\displaystyle a}
是負數且
n
{\displaystyle n}
是偶數 ,那麼
x
=
a
n
{\displaystyle x = a^n}
是正數。如果
a
{\displaystyle a}
是負數且
n
{\displaystyle n}
是奇數 ,那麼
x
=
a
n
{\displaystyle x = a^n}
是負數。
使用對數和有理數指數都不能將
a
k
{\displaystyle a^k}
(其中
a
{\displaystyle a}
是負實數,
k
{\displaystyle k}
實數)定義成實數。在一些特殊情況下,給出一個定義是可行的:負指數的整數指數冪是實數,有理數指數冪對於
a
m
n
{\displaystyle a^\frac{m}{n}}
(
n
{\displaystyle n}
是奇數)可以使用
n
{\displaystyle n}
次方根來計算,但是因為沒有實數
x
{\displaystyle x}
使
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^2 = -1}
,對於
a
m
n
{\displaystyle a^\frac{m}{n}}
(
n
{\displaystyle n}
是偶數)時必須使用虛數單位
i
{\displaystyle i}
。
使用對數的方法不能定義
a
≤
0
{\displaystyle a\leq 0}
時的
a
k
{\displaystyle a^k}
為實數。實際上,
e
x
{\displaystyle e^x}
對於任何實數
x
{\displaystyle x}
都是正的,所以
ln
(
a
)
{\displaystyle \ln(a)}
對於負數沒有意義。
使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數
a
{\displaystyle a}
因為它依賴於連續性 。函數
f
(
r
)
=
a
r
{\displaystyle f(r) = a^r}
對於任何正的有理數
a
{\displaystyle a}
是連續的,但是對於負數
a
{\displaystyle a}
,函數
f
{\displaystyle f}
在有些有理數
r
{\displaystyle r}
上甚至不是連續的。
例如:當
a
=
−
1
{\displaystyle a=-1}
,它的奇數次根等於-1。所以如果
n
{\displaystyle n}
是正奇數整數,
−
1
m
n
=
−
1
{\displaystyle -1^{\frac m n}=-1}
當
m
{\displaystyle m}
是奇數,
−
1
m
n
=
1
{\displaystyle -1^{\frac m n}=1}
當
m
{\displaystyle m}
是偶數。雖然有理數
q
{\displaystyle q}
使
−
1
q
=
1
{\displaystyle -1^q=1}
的集合 是稠密集 ,但是有理數
q
{\displaystyle q}
使
−
1
q
=
−
1
{\displaystyle -1^q=-1}
的集合 也是。所以函數
−
1
q
{\displaystyle -1^q}
在有理數體不是連續的。
因此,如果要求負實數的任意實數冪,必須將底數和指數看成複數 ,按複數的正實數冪或複數的複數冪方法計算。
正實數的複數冪
e的虛數次冪
指數函數 e z 可以通過(1 + z /N )N 當N 趨於無窮大時的極限 來定義,那麼e iπ 就是(1 + iπ /N )N 的極限。在這個動畫中n 從1取到100。(1 + iπ /N )N 的值通過N 重複增加在複數平面上展示,最終結果就是(1 + iπ /N )N 的準確值。可以看出,隨着N 的增大,(1 + iπ /N )N 逐漸逼近極限-1。這就是歐拉公式 。
複數 運算的幾何意義和e 的冪 可以幫助我們理解
e
i
x
{\displaystyle e^{ix}}
(
x
{\displaystyle x}
是實數),即純虛數指數函數 。想像一個直角三角形
(
0
,
1
,
1
+
i
x
n
)
{\displaystyle (0,1,1+\frac{ix}{n})}
(括號內是複數平面內三角形的三個頂點 ),對於足夠大的
n
{\displaystyle n}
,這個三角形可以看作一個扇形 ,這個扇形的中心角就等於
x
n
{\displaystyle \frac{x}{n}}
弧度 。對於所有
k
{\displaystyle k}
,三角形
(
0
,
(
1
+
i
x
n
)
k
,
(
1
+
i
x
n
)
k
+
1
)
{\displaystyle (0,(1+\frac{ix}{n})^k, (1+\frac{ix}{n})^{k+1})}
互為相似三角形 。所以當
n
{\displaystyle n}
足夠大時
(
1
+
i
x
n
)
n
{\displaystyle (1+\frac{ix}{n})^n}
的極限是複數平面上的單位圓 上
x
{\displaystyle x}
弧度的點。這個點的極坐標 是
(
r
,
θ
)
=
(
1
,
x
)
{\displaystyle (r,\theta)=(1,x)}
,直角坐標 是
(
cos
x
,
sin
x
)
{\displaystyle (\cos x,\sin x)}
。所以
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x}
,而這個函數可以稱為純虛數指數函數 。這就是歐拉公式 ,它通過複數 的意義將代數學 和三角學 聯繫起來了。
等式
e
z
=
1
{\displaystyle e^z = 1}
的解是一個整數乘以
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi}
[4] :
{
z
:
e
z
=
1
}
=
{
2
k
π
i
:
k
∈
Z
}
.
{\displaystyle \{ z : e^z = 1 \} = \{ 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}.}
更一般地,如果
e
b
=
a
{\displaystyle e^b = a}
,那麼
e
z
=
a
{\displaystyle e^z = a}
的每一個解都可以通過將
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi}
的整數倍加上
b
{\displaystyle b}
得到:
{
z
:
e
z
=
a
}
=
{
b
+
2
k
π
i
:
k
∈
Z
}
.
{\displaystyle \{ z : e^z = a \} = \{ b + 2k\pi i : k \in \mathbb{Z} \}. }
這個複指數函數是一個有週期
2
i
π
{\displaystyle 2i\pi}
的週期函數 。
更簡單的:
e
i
π
=
−
1
;
e
x
+
i
y
=
e
x
(
cos
y
+
i
sin
y
)
{\displaystyle e^{i\pi} = -1;\ e^{x + iy}= e^x(\cos y + i \sin y )}
。
三角函數
根據歐拉公式 ,三角函數 餘弦和正弦是:
cos
z
=
e
i
⋅
z
+
e
−
i
⋅
z
2
sin
z
=
e
i
⋅
z
−
e
−
i
⋅
z
2
⋅
i
{\displaystyle \cos z = \frac{ e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}} {2} \qquad \sin z = \frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}
歷史上,在複數發明之前,餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函數的求和公式轉換成了簡單的指數方程
e
i
⋅
(
x
+
y
)
=
e
i
⋅
x
⋅
e
i
⋅
y
.
{\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}
使用了複數指數冪之後,很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。
e的複數指數冪
e
x
+
i
y
{\displaystyle e^{x+iy}}
可以分解成
e
x
⋅
e
i
y
{\displaystyle e^x\cdot e^{iy}}
。其中
e
x
{\displaystyle e^x}
是
e
x
+
i
y
{\displaystyle e^{x+iy}}
的模 ,
e
i
y
{\displaystyle e^{iy}}
決定了
e
x
+
i
y
{\displaystyle e^{x+iy}}
的方向
正實數的複數冪
如果
a
{\displaystyle a}
是一個正實數,
z
{\displaystyle z}
是任何複數,
a
z
{\displaystyle a^z}
定義成
e
z
⋅
ln
(
a
)
{\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}
,其中
x
=
ln
(
a
)
{\displaystyle x=\ln (a)}
是方程
e
x
=
a
{\displaystyle e^x = a}
的唯一解。所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。
例如:
2
i
=
e
i
⋅
ln
(
2
)
=
cos
ln
2
+
i
⋅
sin
ln
2
=
0.7692
+
0.63896
i
{\displaystyle 2^i = e^{i\cdot \ln(2)} = \cos{\ln 2}+i\cdot \sin{\ln 2 } = 0.7692+0.63896i}
e
i
=
0.54030
+
0.84147
i
{\displaystyle e^i = 0.54030+0.84147i}
10
i
=
−
0.66820
+
0.74398
i
{\displaystyle 10^i = -0.66820+0.74398i}
(
e
2
π
)
i
=
535.49
i
=
1
{\displaystyle (e^{2\pi})^i = 535.49^i = 1}
複數的複數冪
複數的虛數冪
讓我們從一個簡單的例子開始:計算
(
1
+
i
)
i
{\displaystyle \left( 1+i \right)^i }
。
(
1
+
i
)
i
=
[
2
(
2
2
+
2
2
i
)
]
i
=
(
2
e
π
4
i
)
i
=
e
−
π
4
2
i
=
e
−
π
4
cos
ln
2
2
+
i
e
−
π
4
sin
ln
2
2
{\displaystyle \begin{align}
\left( 1+i \right)^i & = \left[\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)\right]^i \\
& = \left(\sqrt{2}e^{\tfrac{\pi}{4}i}\right)^i \\
& = e^{-\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{2}^i \\
& = e^{-\tfrac{\pi}{4}}\cos\frac{\ln 2}{2} + ie^{-\tfrac{\pi}{4}}\sin\frac{\ln 2}{2} \\
\end{align}}
其中
2
i
{\displaystyle \sqrt{2}^i }
的得法參見上文正實數的複數冪
複數的複數冪
類似地,在計算複數的複數冪時,我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算
(
1
+
i
)
2
+
i
{\displaystyle \left( 1+i \right)^{2+i} }
:
(
1
+
i
)
2
+
i
=
(
1
+
i
)
2
(
1
+
i
)
i
=
2
i
e
−
π
4
(
cos
ln
2
2
+
i
sin
ln
2
2
)
=
−
2
e
−
π
4
sin
ln
2
2
+
2
i
e
−
π
4
cos
ln
2
2
{\displaystyle \begin{align}
\left( 1+i \right)^{2+i} & = \left( 1+i \right)^2 \left( 1+i \right)^i \\
& = 2ie^{-\tfrac{\pi}{4}}\left(\cos\frac{\ln 2}{2} + i\sin\frac{\ln 2}{2}\right) \\
& = -2e^{-\tfrac{\pi}{4}}\sin\frac{\ln 2}{2} + 2ie^{-\tfrac{\pi}{4}}\cos\frac{\ln 2}{2} \\
\end{align}}
一般情況
複數的複數冪必須首先化為底數為
e
{\displaystyle e}
的形式:
w
z
=
e
z
ln
w
{\displaystyle w^z = e^{z \ln w}}
又,由複數的極坐標表示法:
w
=
r
e
i
θ
{\displaystyle w = r e^{i\theta}}
故
w
z
=
e
z
ln
(
w
)
=
e
z
(
ln
(
r
)
+
i
θ
)
{\displaystyle w^z = e^{z \ln(w)} = e^{z(\ln(r) + i\theta)}}
。
然後,使用歐拉公式 處理即可。
由於複數的極坐標表示法中,輻角
θ
{\displaystyle \theta}
的取值是具有週期性的,因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函數 。不過實際應用中,為了簡便起見,輻角都只取主值,從而使冪值唯一。
當函數名後有上標的數(即函數的指數),一般指要重複它的運算。例如
f
3
(
x
)
{\displaystyle f^3 (x )}
即
f
(
f
(
f
(
x
)
)
)
{\displaystyle f ( f ( f ( x ) ) )}
。特別地,
f
−
1
(
x
)
{\displaystyle f^{-1} (x )}
指
f
(
x
)
{\displaystyle f (x )}
的反函數 。
但三角函數 的情況有所不同,一個正指數應用於函數的名字時,指答案要進行乘方運算,而指數為-1時則表示其反函數。例如:
(
sin
x
)
−
1
{\displaystyle (\sin x)^{-1}}
表示
csc
x
{\displaystyle \csc x}
。因此在三角函數時,使用
sin
−
1
x
{\displaystyle \sin^{-1} x}
來表示
sin
x
{\displaystyle \sin x}
的反函數
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin x}
。
計算自然數(正整數)
n
{\displaystyle n}
的
a
n
{\displaystyle a^n}
的算法
最快的方式計算
a
n
{\displaystyle a^n}
,當
n
{\displaystyle n}
是正整數的時候。它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的,和通過簡單的移所有位向右來除以2 的事實。
偽代碼 :
1. 1 → y, n → k, a → f
2.若k不为0,执行3至6
3.若k为奇数, y * f → y
4. k [[位操作#移位|右移]]1位(即k / 2 → k ,小数点无条件舍去)
5. f * f → f
6.回到2
7.传回y
在C /C++語言 中,你可以寫如下算法:
double power ( double a , unsigned int n )
{
double y = 1 ;
double f = a ;
while ( n > 0 ) {
if ( n % 2 == 1 ) y *= f ;
n >>= 1 ;
f *= f ;
}
return y ;
}
此算法的時間複雜度 為
O
(
log
n
)
{\displaystyle \Omicron(\log n)\!}
,比普通算法快(a自乘100次,時間複雜度 為
O
(
n
)
{\displaystyle \Omicron(n)\!}
),在
n
{\displaystyle n}
較大的時候更為顯著。
例如計算
a
100
{\displaystyle a^{100}}
,普通算法需要算100次,上述算法則只需要算7次。若要計算
a
n
(
n
<
0
)
{\displaystyle a^{n} (n < 0)}
可先以上述算法計算
a
|
n
|
{\displaystyle a^{|n|}}
,再作倒數。
註釋
↑ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes , series 2, volume 3.
↑ 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35:a的0次方=1(a≠0)(註:0的0次方為無意義)
↑ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4 .
↑ This definition of a principal root of unity can be found in:
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7 . Online resource
Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6 . Defined on page 351, available on Google books.
"Principal root of unity ", MathWorld.
另見
外部連結