无理数 √2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π | |
二进制 | 1.0110101000001001111... |
十进制 | 1.4142135623730950488... |
十六进制 | 1.6A09E667F3BCC908B2F... |
连续分数 |
2的算术平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数或分数表示。
其最初65位为
是无理数的证明
常见的证明
- 假设是有理数,即有整数、,使得
- 将重写成最简分数,即和互素,且
- 所以,即
- 因为必为偶数,故亦是偶数
- 故为偶数(奇数的平方不会是偶数)
- 所以必有一整数,使得
- 将(3)的式子代入(6):
- 化简得
- 因为是偶数,所以是偶数,亦是偶数
- 所以和都是偶数,跟是最简分数的假设矛盾
- 因为导出矛盾,所以(1)的假设错误,不是有理数,即是无理数
这个证明可推广至证明任何非完全平方数的正整数n,其算术平方根为无理数。
另一个证明
另外一个是无理数的反证法证明较少为人所知,但证明方法也相当漂亮:
- 假设是有理数,便可以表示成最简分数,其中,为正整数
- 由于,所以
- 因为
- 所以
- 故是比更简的分数,与是最简分数的假设矛盾
从一个直角边为,斜边为的等腰直角三角形,可以用尺规作图作出直角边为,斜边为的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。
性质
2的算术平方根的连分数展开式为:
参见
外部链接
- 是无理数的六个证明,香港大学数学系萧文强(Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2)
- 旧题新解 — 根号2是无理数,张海潮 张镇华[永久失效链接](数学传播 第 30 卷 第 4 期)